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19 de set de 2010

Como se produz uma fórmula?

Como se produz uma fórmula?


Comentário

Como se produz uma fórmula matemática? Essa pergunta é relevante e deve ser dirigida aos alunos do ensino médio. De onde vêm as fórmulas para o cálculo dos volumes dos sólidos geométricos, por exemplo?


Para não serem interpretadas como um monte de letras, dissociadas das idéias e dos conceitos matemáticos, é importante que se mostre aos alunos, por meio de exemplos, que as fórmulas são sínteses das regras matemáticas e foram produzidas para facilitar a resolução dos problemas.

Nosso ponto de partida será um problema resolvido por Gauss que facilita explicar o processo de construção de uma fórmula matemática.
Objetivo

1) Mostrar as fórmulas matemáticas como conseqüência das regras que são descobertas para a resolução de determinados problemas.
2) Relacionar os conteúdos do ensino fundamental com os do médio por meio de problemas que gerem procedimentos comuns de resolução.
3) Estimular a investigação das fórmulas que possam generalizar determinados cálculos.

Série
1a do ensino médio.
Estratégias

1) Narrar o famoso caso do problema resolvido por Gauss com oito anos de idade.

  • Conta-se que o seu professor pediu para que a sala calculasse o valor da soma das parcelas de 1 a 100, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6... + 98 + 99 + 100, acreditando que manteria os alunos ocupados por longo tempo. Porém, rapidamente, Gauss se levantou e apresentou o resultado para o professor.
A partir dessa narrativa, desafiar os alunos a efetuarem a mesma soma discutindo quais são os caminhos mais rápidos.


2) Reescrever todas as parcelas dessa soma em ordem crescente e decrescente, alinhando-as em coluna, logo abaixo da seqüência proposta no problema:

Somar cada coluna e observar que o resultado obtido é sempre 101 (1+100 = 101, 2 + 99 = 101 .... 98 + 3 = 101, 99 + 2 = 101 e 100 + 1 = 101). A partir daí, perguntar para a sala quais os procedimentos ainda necessários para concluir a resolução.


3) Mostrar que o procedimento restante é a multiplicação de 101 por 100, dividindo esse produto por 2. Desafiar os alunos a interpretarem e entenderem esse procedimento.


4) Perguntar para a sala se esse procedimento, adotado para a resolução desse problema, pode ser aplicado em outros problemas que envolvam a soma de um determinado número de parcelas. Sugerir para os alunos verificarem alguns casos como:

2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14
1 + 3 + 5 + 7+ 9+ 11 + 13
1 + 4 + 6 + 7 + 10 + 12 + 13

5) A partir das sugestões dadas anteriormente, pedir para os alunos inventarem outras seqüências para esse tipo de soma e verificarem a regra utilizada por Gauss. Qual a condição necessária para que se possa aplicar essa regra?

6) Perguntar para os alunos como essa regra pode ser escrita matematicamente. Exemplificar na sala o desenvolvimento de alguma fórmula aplicada em outro conteúdo. A sugestão é que seja relacionado ao conteúdo do ensino fundamental. Uma boa e simples experiência é a dedução da fórmula para o calcular da área do retângulo.

7) Essa retomada do conteúdo do fundamental é importante para mostrar que, independente do assunto abordado, vários procedimentos são comuns no desenvolvimento dos conceitos matemáticos.
Nessa perspectiva, pedir para os alunos desenharem uma malha quadriculada com 10 linhas e 10 colunas produzindo quadrados com 1 cm de lado. Feito isso, oriente-os a desenhar também nessa malha três retângulos, sendo um com 3 cm de comprimento e 2 cm de largura, outro com 6 cm de comprimento e 1 cm de largura, e o terceiro com 5 cm de comprimento e 3 cm de largura. A partir da definição matemática de que um quadrado de 1cm de lado ocupa uma área de 1cm2, calcular a área de cada retângulo relacionando com a fórmula:


•Área= (medida do comprimento) X (medida da largura)



Relacionar esta fórmula com a quantidade de quadradinhos contidos em cada retângulo desenhado. Substituir as palavras da fórmula por letras, indicando o significado de cada uma.



Retornar aos exemplos anteriores relacionados à soma e sugerir aos alunos que escrevam a regra observada por Gauss com a utilização de letras apontando, novamente, o significado de cada uma.


É esperado que cheguem a resultados como sendo a o valor da primeira parcela, b o valor da última, n o número de parcelas e S o valor da soma.

Atividades

  • Narrar a lenda do jogo de xadrez (ver o plano de aula A lenda do jogo de xadrez e a função exponencial) que é sobre um rei que pede ao sábio, inventor do jogo, que escolha qualquer coisa do seu reino como forma de gratificação pela invenção. O sábio pede como prêmio grãos de trigo na condição de que seja colocado 1 grão na primeira casa do tabuleiro, 2 grãos na segunda, 4 grãos na terceira, 8 grãos na quarta, 16 na quinta, e assim por diante, sempre dobrando o número de grãos de trigo na passagem de cada casa. Depois de relatar a lenda, peça para os alunos:

a) Escreverem a fórmula para calcular da quantidade de trigos definindo como N o número de casas usadas na seqüência.
b) Imaginarem uma outra regra matemática para a lenda. Por exemplo, em vez de dobrar, triplicar. Qual deverá ser a fórmula para esse caso?
c) Ampliarem a quantidade inicial de trigo. Como sugestão, em vez de começar com um grão, começar com

  • A partir dessa condição, pedir para escreverem novamente a fórmula com a quantidade de grãos quadruplicando na passagem de uma casa para outra.
  • Pedir para os alunos pesquisarem o desenvolvimento de algumas fórmulas matemáticas. Uma sugestão é a fórmula para cálculo do volume do cilindro que relaciona a área do círculo, conteúdo do ensino fundamental, com o volume de prismas retos, conteúdo a ser desenvolvido no ensino médio.

Fonte:
http://educacao.uol.com.br/planos-aula/formula.jhtm

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