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11 de dez de 2010

GEOMETRIA PLANA



Matemática



A Geometria Plana está apoiada sobre alguns postulados, axiomas, definições e teoremas, sendo que essas definições e postulados são usados para demonstrar a validade de cada teorema. Alguns desses objetos são aceitos sem demonstração, isto é, você deve aceitar tais conceitos porque os mesmos parecem funcionar na prática!



CONHEÇA A GEOMETRIA PLANA

Para se chegar à compreensão da necessidade de classificação de figuras, da forma como é usual na Geometria Euclidiana, é necessário obter compreendido as suas vantagens matemáticas. Sem esta compreensão, parece um jogo de palavras ter ouvido o professor afirmar que um triângulo isósceles é o que tem os lados iguais, e depois ver o professor permitir que um triângulo com os três lados iguais seja também isósceles. Só após o conhecimento de algumas propriedades das figuras é que os alunos compreenderão as vantagens de optar por uma classificação.



Vamos optar por apresentar os diversos tipos de figuras em separado apenas por uma razão de "arrumação".

Chamamos polígonos a qualquer porção do plano limitada por segmentos de reta que forma uma linha poligonal fechada.



GEOMETRIA PLANA

A Geometria permite que façamos uso dos conceitos elementares para construir outros objetos mais complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias, centros de gravidade de objetos, etc.



POLÍGONO

Polígono: É uma figura plana formada por três ou mais segmentos de reta que se intersectam dois a dois. Os segmentos de reta são denominados lados do polígono.Os pontos de intersecção são denominados vértices do polígono. A região interior ao polígono é muitas vezes tratada como se fosse o próprio polígono.



TRIÂNGULOS

Os triângulos são polígonos de três lados. Iremos classificar os triângulos de duas maneiras: quanto aos lados e quanto aos ângulos.



Quanto aos lados:

Equilátero - todos os lados iguais

Isósceles - dois lados iguais

Escaleno - todos os lados diferentes



Quanto aos ângulos:

Acutângulo - Um ângulo agudo

Obtusângulo - Um ângulo obtuso

Retângulo - Um ângulo reto



Algumas propriedades:

- Se o triângulo tem dois lados iguais, os ângulos que lhes são opostos também são iguais.

- Num triângulo, ou em triângulos iguais, a lados iguais opõem-se ângulos iguais.

- Num triângulo, ou em triângulos iguais, a ângulos iguais opõem-se lados iguais.

- Num triângulo, ao maior lado opõem-se o maior ângulo



Os triângulos podem ser classificados em diversos tipos de acordo com seus lados(Eqüiláteros - Possuem três lados de mesmo comprimento, Isósceles - possuem dois lados de mesmo comprimento e Escalenos - possuem três lados de comprimentos diferentes) ou quanto a seus ângulos(Retângulos - possuem um ângulo de 90° graus, também chamado ângulo reto, Obtusângulos - possuem um ângulo obtuso, ou seja, um ângulo com mais de 90°, Acutângulos - possuem três ângulos agudos, ou seja, menores do que 90°). Polígonos são definidos como a figura formada po um número n maior ou igual a 3 de pontos ordenados de forma que três pontos consecutivos sejam não colineares.



Um exemplo de polígono de 3 lados é um triângulo. Os polígonos possuem denominações particulares para enes diferentes:n=3 - triângulo, n=4 - quadrilátero, n=10 - decágono, n=20 - icoságono). Estas denominações são derivadas dos nomes dos números em grego. Outra forma importante da geometria plana é a circunferência definida como sendo o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo desse plano é uma constante positiva. Chamamos de círculo ao conjunto de uma circunferência e seus pontos internos. Existem também certos casos especiais para quadriláteros como definiremos a seguir: é dado o nome de trapézio a um quadrilátero que possui dois lados paralelos.



Para o caso dos lados não paralelos serem congruentes dá-se a este trapézio o nome de trapézio isósceles, para o caso de lados não paralelos não congruentes é dado o nome de trapézio escaleno, e um trapézio que possui um lado perpendicular as bases é chamado trapézio retângulo. Paralelogramo é um quadrilátero que possui os lados opostos paralelos. Retângulo possui quatro ângulos congruentes entre si. O losango possui quatro lados congruentes entre si, e finalmente o quadrado que possui 4 lados e quatro ângulos congruentes entre si.



Polígono convexo: É um polígono construído de modo que os prolongamentos dos lados nunca ficarão no interior da figura original. Se dois pontos pertencem a um polígono convexo, então todo o segmento tendo estes dois pontos como extremidades, estará inteiramente contido no polígono.



Polígono No. de lados                     Polígono No. de lados

Triângulo 3                                            Quadrilátero 4

Pentágono 5                                           Hexágono 6

Heptágono 7                                          Octógono 8

Eneágono 9                                            Decágono 10

Undecágono 11                                     Dodecágono 12



Polígono não convexo: Um polígono é dito não convexo se dados dois pontos do polígono, o segmento que tem estes pontos como extremidades, contiver pontos que estão fora do polígono.




Segmentos congruentes: Dois segmentos ou ângulos são congruentes quando têm as mesmas medidas.






Paralelogramo: É um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Pode-se mostrar que num paralelogramo:



Os lados opostos são congruentes;

Os ângulos opostos são congruentes;

A soma de dois ângulos consecutivos vale 180o;

As diagonais cortam-se ao meio.






Losango: Paralelogramo que tem todos os quatro lados congruentes. As diagonais de um losango formam um ângulo de 90o.



Retângulo: É um paralelogramo com quatro ângulos retos e dois pares de lados paralelos.




Quadrado: É um paralelogramo que é ao mesmo tempo um losango e um retângulo. O quadrado possui quatro lados com a mesma medida e também quatro ângulos retos.



Trapézio: Quadrilátero que só possui dois lados opostos paralelos com comprimentos distintos, denominados base menor e base maior. Pode-se mostrar que o segmento que liga os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e o seu comprimento é a média aritmética das somas das medidas das bases maior e menor do trapézio.






Trapézio isósceles: Trapézio cujos lados não paralelos são congruentes. Neste caso, existem dois ângulos congruentes e dois lados congruentes. Este quadrilátero é obtido pela retirada de um triângulo isósceles menor superior (amarelo) do triângulo isósceles maior.



"Pipa" ou "papagaio": É um quadrilátero que tem dois pares de lados consecutivos congruentes, mas os seus lados opostos não são congruentes.






Neste caso, pode-se mostrar que as diagonais são perpendiculares e que os ângulos opostos ligados pela diagonal menor são congruentes.




CONHEÇA A GEOMETRIA PLANA

Para se chegar à compreensão da necessidade de classificação de figuras, da forma como é usual na Geometria Euclidiana, é necessário obter compreendido as suas vantagens matemáticas. Sem esta compreensão, parece um jogo de palavras ter ouvido o professor afirmar que um triângulo isósceles é o que tem os lados iguais, e depois ver o professor permitir que um triângulo com os três lados iguais seja também isósceles. Só após o conhecimento de algumas propriedades das figuras é que os alunos compreenderão as vantagens de optar por uma classificação.


Vamos optar por apresentar os diversos tipos de figuras em separado apenas por uma razão de "arrumação".


Chamamos polígonos a qualquer porção do plano limitada por segmentos de reta que forma uma linha poligonal fechada.



AULA DE GEOMETRIA PLANA


VIDEO YOU TUBE
GEOMETRIA PLANA

SITE DE CONSULTA:

http://www.mundovestibular.com.br/articles/4237/1/GEOMETRIA-PLANA/Paacutegina1.html

PLANO DE AULA- Vernissage Geométrico

Eixo Temático:
Matemática - Geometria



Nome da Aula: 
Vernissage Geométrico


Objetivos:
Perceber semelhanças e diferenças entre objetos no espaço, identificando formas tridimensionais ou bidimensionais, em situações que envolvam descrições orais, construções e representações.


Conteúdos:
• Relacionar a geometria da pintura do quadro de Tarsila do Amaral com seus conhecimentos sobre geometria;

• Perceber a relação entre a arte e os elementos geométricos;

• Diferenciar formas geométricas planas e identificá-las pelos seus nomes - retângulos, quadrados, círculos, triângulos; linhas curvas e linhas retas.


Justificativas:
Este tema serve para fazer com que a criança comece a perceber a Geometria pelas cores e formas presentes em obras de arte, em uma atividade que permite conexões com as outras disciplinas.


Resumo das Atividades:
Nesta atividade, faremos a análise da pintura Estrada de Ferro Central do Brasil, de Tarsila do Amaral, sob a perspectiva geográfica, histórica, artística e matemática. Será contado um pouco da história da pintora, podendo ser ampliada a discussão para a Semana de Arte Moderna de 1922.



A idéia principal será analisar a pintura para que os alunos façam o reconhecimento das figuras geométricas planas envolvidas na mesma, assim como linhas curvas e linhas retas.



Após a análise da pintura, será proposto às crianças que façam suas obras de arte, tendo como modelo a pintura Tarsila e de outros artistas que se utilizam de formas geométricas planas.


Duração:
2 a 3 aulas.


Produto(s):
Trabalhos de desenho, pintura ou colagem feitos pelas crianças, utilizando figuras geométricas.

Geometria no geoplano de papel

Planos de aula
Ensino Fundamental II – 5 série
Matemática Espaço e Forma
Geometria no geoplano de papel

Objetivos

Levar os alunos a explorar figuras poligonais através da visualização, construção e classificação através do reconhecimento de atributos.



Justificativa

O ensino tradicional caracterizado pela pouca atenção à geometria e à formação do pensamento geométrico, tem dado mais ênfase em atividades mecânicas em que os alunos têm a ilusão de que estão aprendendo geometria decorando nomes de figuras geométricas.



Estudos sobre a aprendizagem de conceitos geométricos recomendam implicar os alunos em ações de natureza cognitiva, para o desenvolvimento sólido do pensamento geométrico, e isto passa pela exploração, visualização, manipulação, construção, representação, classificação e análise de formas.



Conteúdos

- Polígonos, área, convexidade, simetria.



Série

5º ou 6º anos



Tempo estimado

2 a 3 aulas



Materiais necessários

- Papel quadriculado, lápis, lápis de cor, régua.
 
 
 
Orientações para a Atividade

Desenvolvimento das atividades



1ª Etapa: preparação do material:

a) Delimitar numa folha de papel quadriculado uma grade 6x6

b) Pontilhar a grade.



Importante: Esta rede pontilhada também é conhecida como geoplano de papel. O geoplano clássico é um tabuleiro de madeira com pinos (pregos) eqüidistantes, em que os alunos forma figuras com elásticos ou barbantes.



2ª Etapa: Formar figuras fechadas formadas por segmentos de reta, que tenham como extremidades os pontos da grade pontilhada.



3ª etapa: Socialize as produções dos alunos e gerencie uma discussão sobre as características das figuras obtidas.



- Quem desenhou uma figura com 6 lados ?

- Quem desenhou a figura com mais lados ?

- Quem desenhou a figura com menos lados ?

- Quem desenhou figuras com entradas (reentrâncias) ?

- Alguém desenhou uma figura simétrica ?



O processo de discussão das figuras é uma oportunidade de o professor, introduzir uma nomenclatura, assim os alunos já terão visto e desenhado uma figura de 6 lados, antes de terem que memorizar o nome “hexágono”. Outras propriedades surgem naturalmente a partir das construções, como, por exemplo, a noção, e não uma definição formal, de figura convexa, não convexa, simétrica e não simétrica.



Os alunos podem pintar as figuras e o professor pode fazer um jogo de classificação em que o conjunto das figuras (que são polígonos), é decomposto em duas famílias (partição), em que em cada família estão todas as figuras que tem uma certa propriedade (atributo), e na outra família todas as figuras que não tem a propriedade determinada.



As figuras podem ser organizadas num tabuleiro.

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Avaliação

Há várias maneiras de se avaliar em geometria, em especial, em relação à atividade proposta, o professor pode dar algumas pistas sobre uma figura e solicitar que os alunos desenhem o polígono satisfaz as condições, como por exemplo:



Desenhe uma figura de sete lados (um heptágono portanto), que não seja convexa, mas seja simétrica. Há infinitas soluções, como por exemplo a seta abaixo: